这肯定会推动我对我的知识的限制.
是否有计算二次贝塞尔曲线和直线之间交点的公式?
例:
在下图中,我有P1,P2,C(它是控制点)和X1,X2(我的特定计算只是X轴上的一条直线.)
我想知道的是T的X,Y位置以及红色曲线和黑色线交叉点处T处的切线角度.
在做了一点研究并找到this问题后,我知道我可以使用:
- t = 0.5; // given example value
- x = (1 - t) * (1 - t) * p[0].x + 2 * (1 - t) * t * p[1].x + t * t * p[2].x;
- y = (1 - t) * (1 - t) * p[0].y + 2 * (1 - t) * t * p[1].y + t * t * p[2].y;
计算沿曲线任意给定点的X,Y位置.因此,使用它我可以沿着曲线循环遍历一堆点,检查是否有任何在我的交叉X轴上.并从那里尝试计算我的切线角度.但这似乎并不是最好的方法.任何数学大师都知道最好的方法是什么?
我想也许它比我想要的要复杂得多.
解决方法
二次曲线公式:
- y=ax^2+bx+c // where a,b,c are known
线公式:
- // note: this `B` is not the same as the `b` in the quadratic formula ;-)
- y=m*x+B // where m,B are known.
曲线&线相交,其中两个方程对于相同的[x,y]都为真:
这是带注释的代码和演示:
- // canvas vars
- var canvas=document.getElementById("canvas");
- var ctx=canvas.getContext("2d");
- var cw=canvas.width;
- var ch=canvas.height;
- // linear interpolation utility
- var lerp=function(a,x){ return(a+x*(b-a)); };
- // qCurve & line defs
- var p1={x:125,y:200};
- var p2={x:250,y:225};
- var p3={x:275,y:100};
- var a1={x:30,y:125};
- var a2={x:300,y:175};
- // calc the intersections
- var points=calcQLintersects(p1,p2,p3,a1,a2);
- // plot the curve,line & solution(s)
- var textPoints='Intersections: ';
- ctx.beginPath();
- ctx.moveTo(p1.x,p1.y);
- ctx.quadraticCurveTo(p2.x,p2.y,p3.x,p3.y);
- ctx.moveTo(a1.x,a1.y);
- ctx.lineTo(a2.x,a2.y);
- ctx.stroke();
- ctx.beginPath();
- for(var i=0;i<points.length;i++){
- var p=points[i];
- ctx.moveTo(p.x,p.y);
- ctx.arc(p.x,p.y,4,Math.PI*2);
- ctx.closePath();
- textPoints+=' ['+parseInt(p.x)+','+parseInt(p.y)+']';
- }
- ctx.font='14px verdana';
- ctx.fillText(textPoints,10,20);
- ctx.fillStyle='red';
- ctx.fill();
- ///////////////////////////////////////////////////
- function calcQLintersects(p1,a2) {
- var intersections=[];
- // inverse line normal
- var normal={
- x: a1.y-a2.y,y: a2.x-a1.x,}
- // Q-coefficients
- var c2={
- x: p1.x + p2.x*-2 + p3.x,y: p1.y + p2.y*-2 + p3.y
- }
- var c1={
- x: p1.x*-2 + p2.x*2,y: p1.y*-2 + p2.y*2,}
- var c0={
- x: p1.x,y: p1.y
- }
- // Transform to line
- var coefficient=a1.x*a2.y-a2.x*a1.y;
- var a=normal.x*c2.x + normal.y*c2.y;
- var b=(normal.x*c1.x + normal.y*c1.y)/a;
- var c=(normal.x*c0.x + normal.y*c0.y + coefficient)/a;
- // solve the roots
- var roots=[];
- d=b*b-4*c;
- if(d>0){
- var e=Math.sqrt(d);
- roots.push((-b+Math.sqrt(d))/2);
- roots.push((-b-Math.sqrt(d))/2);
- }else if(d==0){
- roots.push(-b/2);
- }
- // calc the solution points
- for(var i=0;i<roots.length;i++){
- var minX=Math.min(a1.x,a2.x);
- var minY=Math.min(a1.y,a2.y);
- var maxX=Math.max(a1.x,a2.x);
- var maxY=Math.max(a1.y,a2.y);
- var t = roots[i];
- if (t>=0 && t<=1) {
- // possible point -- pending bounds check
- var point={
- x:lerp(lerp(p1.x,p2.x,t),lerp(p2.x,y:lerp(lerp(p1.y,lerp(p2.y,p3.y,t)
- }
- var x=point.x;
- var y=point.y;
- // bounds checks
- if(a1.x==a2.x && y>=minY && y<=maxY){
- // vertical line
- intersections.push(point);
- }else if(a1.y==a2.y && x>=minX && x<=maxX){
- // horizontal line
- intersections.push(point);
- }else if(x>=minX && y>=minY && x<=maxX && y<=maxY){
- // line passed bounds check
- intersections.push(point);
- }
- }
- }
- return intersections;
- }
- body{ background-color: ivory; padding:10px; }
- #canvas{border:1px solid red;}
- <h4>Calculate intersections of QBez-Curve and Line</h4>
- <canvas id="canvas" width=350 height=350></canvas>