多重背包O(N*V)算法详解（使用单调队列）

多重背包问题：

有N种物品和容量为V的背包，若第i种物品，容量为v[i]，价值为w[i]，共有n[i]件。怎样装才能使背包内的物品总价值最大？

网上关于“多重背包”的资料倒是不少，但是关于怎么实现O(N*V)算法的资料，真得好少呀，关于“单调队列”那部分算法，又没说明得很清楚，看了几遍没看懂原理，只好自己动脑去想怎么实现O(N*V)算法。

若用F[i][j]表示对容量为j的背包，处理完前i种物品后，背包内物品可达到的最大总价值，并记m[i] = min(n[i],j / v[i])。放入背包的第i种物品的数目可以是：0、1、2……，可得：

F[i][j] = max { F[i - 1] [j – k * v[i] ] + k * w[i] } (0 <= k <= m[i]) ㈠

如何在O(1)时间内求出F[i][j]呢？

先看一个例子：取m[i] = 2,v[i] = v,w[i] = w,V > 9 * v，

并假设 f(j) = F[i - 1][j]，观察公式右边要求最大值的几项：

j = 6*v: f(6*v)、f(5*v)+w、f(4*v)+2*w 这三个中的最大值

j = 5*v: f(5*v)、f(4*v)+w、f(3*v)+2*w 这三个中的最大值

j = 4*v: f(4*v)、f(3*v)+w、f(2*v)+2*w 这三个中的最大值

显然，公式㈠右边求最大值的几项随j值改变而改变，但如果将j = 6*v时，每项减去6*w，j=5*v时，每项减去5*w，j=4*v时，每项减去4*w，就得到：

j = 6*v: f(6*v)-6*w、f(5*v)-5*w、f(4*v)-4*w 这三个中的最大值

j = 5*v: f(5*v)-5*w、f(4*v)-4*w、f(3*v)-3*w 这三个中的最大值

j = 4*v: f(4*v)-4*w、f(3*v)-3*w、f(2*v)-2*w 这三个中的最大值

很明显，要求最大值的那些项，有很多重复。

根据这个思路，可以对原来的公式进行如下调整：

假设d = v[i]，a = j / d，b = j % d，即 j = a * d + b，代入公式㈠，并用k替换a - k得：

F[i][j] = max { F[i - 1] [b + k * d] - k * w[i] } + a * w[i] (a – m[i] <= k <= a) ㈡

对F[i - 1][y] （y= b b+d b+2d b+3d b+4d b+5d b+6d … j）

F[i][j]就是求j的前面m[i] + 1个数对应的F[i - 1] [b + k * d] - k * w[i]的最大值，加上a * w[i]，如果将F[i][j]前面所有的F[i - 1][b + k * d] – k * w放入到一个队列，那么，F[i][j]就是求这个队列最大长度为m[i] + 1时，队列中元素的最大值，加上a * w[i]。因而原问题可以转化为：O(1)时间内求一个队列的最大值。

该问题可以这样解决：

① 用另一个队列B记录指定队列的最大值（或者记录最大值的地址），并通过下面两个操作保证队列B的第一个元素（或其所指向的元素）一定是指定队列的当前最大值。

② 当指定队列有元素M进入时，删除队列B中的比M小的（或队列B中所指向的元素小等于M的）所有元素，并将元素M（或其地址）存入队列B。

③ 当指定队列有元素M离开时，队列B中的第一个元素若与M相等（或队列B第一个元素的地址与M相等），则队列B的第一个元素也离队。

经过上述处理，可以保证队列B中的第一个元素（或其指向的元素）一定是所指定队列所有元素的最大值。显然队列B的元素（或其所指向的元素）是单调递减的，这应该就是《背包九讲》中的提到的“单调队列”吧，初看的时候被这个概念弄得稀里糊涂，网上的资料提到“维护队列的最大值”，刚开始还以为是维护这个单调队列的最大值，对其采用的算法，越看越糊涂。其实，只要明白用一个“辅助队列”，求另一个队列的最值，那么具体的算法，和该“辅助队列”的性质（单调变化），都很容易推导出来。

在多重背包问题中，所有要进入队列的元素个数的上限值是已知的，可以直接用一个大数组模拟队列。

“多重背包”通用模板: