首先，所述类似物是否存在？
第二，如何找到给定边的4个向量的4d体积/超体积，理想情况下使用点，叉积等。
第三，表面积的3D模拟是什么？例如。 1D弧长，2D表面面积，3D体积，4D-？
zhuhailucye 回答：如何找到平行六面体的4d类似物的超体积？
您所描述的是使用行列式进行概括的。
嵌入到nD空间中的nD对象
对于使用所有尺寸的对象，例如2D的平行四边形或3D的平行六面体，请将定义{hyper-）平行六面体的边的n向量作为矩阵的行，并计算行列式：
2D 3D 4D 5D
|x1 y1| |x1 y1 z1| |x1 y1 z1 w1| (Repeat the same pattern)
|x1 y2| |x2 y2 z2| |x2 y2 z2 w2|
|x3 y3 z3| |x3 y3 z3 w3|
|x4 y4 z4 w4|
请注意，所获得的（超）体积是带符号的，具体取决于矢量的方向。因此可能会有负体积。
（n-1）D个对象嵌入nD空间
对于尺寸小于其生存空间的一维对象（例如3D空间中的平行四边形），可以使用叉积（由行列式得出）或叉积的一般化。例如，由两个3D向量(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)定义的嵌入3D的平行四边形的面积是根据包含两个向量作为行的矩阵计算得出的：
[x1 y1 z1]
[x2 y2 z2]
从该矩阵中，只需创建2x2子矩阵的所有组合，计算每个矩阵的行列式，然后将它们放入向量中
[|y1 z1|,|z1 x1|,|x1 y1|] = (y1*z2-z1*y1,z1*x2-x1*z2,x1*y2-y1*x2)
[|y2 z2| |z2 x2| |x2 y2|]
您获得一个向量，该向量的长度为平行四边形的面积：sqrt((y1*z2-z1*y1)^2 + (z1*x2-x1*z2)^2 + (x1*y2-y1*x2)^2)。
（几乎）最终概括
在最后一个示例中，我们可以创建一个适用于以任何尺寸嵌入的任何对象的通用配方（是的，您可以计算嵌入17D空间的3D平行六面体的体积）：
- 将描述对象的所有矢量放入（可能是非正方形）矩阵的行中。
- 枚举平方子矩阵的所有可能组合。
- 计算所有这些子矩阵的行列式并将它们放在列表中（如果只需要体积，则顺序并不重要）。
- 分别平方这些决定因素。
- 将它们全部加起来。
- 取结果的平方根。
请注意，由于您平方后取平方根，因此最后一个配方将提供无符号的体积。
最后的注释：显然，这个答案更多地是配方，而不是解释为什么所有这些计算都起作用的原因。有关此主题的更多信息，建议您研究Exterior Algebra，这是一种形式化的方法，它使用楔形积（叉积的泛化）来定义这些超量以非常普遍的方式。